Trong chương trình môn toán, tính tổng dãy số đều và không đều là kiến thức cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp thông tin cơ bản về cách tính tổng dãy số đều và không đều.
1. Tìm hiểu về dãy số:
1.1. Dãy số là gì?
Dãy số thường được biểu diễn dưới dạng u1, u2, u3,…, un; trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đầu của dãy số.
- Ví dụ 1: Dãy các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8,… có số hạng đầu u1 = 2 và số hạng tổng quát un = 2n.
- Ví dụ 2: Dãy các số chính phương: 1, 4, 9, 16,… có số hạng đầu u1 = 1 và số hạng tổng quát un = n^2.
1.2. Một số loại dãy số thường gặp:
Dãy số tăng:
- Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N*.
- Ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5,…, 100, 101 là dãy số tăng vì số hạng sau luôn lớn hơn số hạng trước.
Dãy số giảm:
- Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < u với mọi n ∈ N*.
- Ví dụ: 49, 46, 43, 40,…, 3, 0 là dãy số giảm do số hạng sau luôn nhỏ hơn số hạng trước.
Ngoài ra còn có dãy số hữu hạn và dãy số vô hạn.
2. Bài toán tính tổng dãy số:
Với bài toán tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng. Dấu cộng không bắt buộc là duy nhất đứng trước mỗi số hạng, có thể là dấu trừ hoặc cả dấu cộng và dấu trừ kết hợp.
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2023
3. Một số quy luật trong dãy số:
Đầu tiên, ta cần xác định quy luật của dãy số. Một số quy luật thường gặp như sau:
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tổng hoặc hiệu của số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a.
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) bằng tích hoặc thương của số hạng đứng trước nó với một số tự nhiên a khác 0.
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ ba trở đi) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ tư trở đi) bằng tổng của số hạng đứng trước nó, số thứ tự của số hạng đó và một số tự nhiên d bất kỳ.
- Số hạng đứng sau bằng tích của số thứ tự của số hạng đó nhân với số hạng đứng trước.
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) đều bằng tích của số liền trước nó với số a bất kỳ.
- Mỗi số hạng (bắt đầu từ số hạng thứ hai trở đi) và mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng hoặc trừ n (với n khác 0).
4. Tổng dãy số đều:
4.1. Công thức tính tổng dãy số đều:
Bước 1: Xác định quy luật của dãy số.
Bước 2: Tính số số hạng của dãy số.
Công thức: Số số hạng của dãy = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,…, 100. Dãy số có bao nhiêu số hạng?
Dãy số có số số hạng là: (100 – 2) : 2 + 1 = 50
Trong đó:
- 100 là số hạng cuối
- 2 là số hạng đầu
- 2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy
Bước 3: Tính tổng của dãy số.
Công thức: Tổng của dãy số = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng nhỏ nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ: Tính tổng dãy số sau: 2, 4, 6, 8,…, 100.
Áp dụng công thức trên, ta có:
Tổng dãy số = (100 + 2) x 50 : 2 = 2550
Trong đó:
- 2 là số hạng nhỏ nhất của dãy (số hạng đầu)
- 100 là số hạng lớn nhất của dãy (số hạng cuối)
- 50 là số số hạng của dãy
4.2. Số hạng cuối trong dãy số đều:
Công thức: Số hạng cuối của dãy số đều = Số hạng đầu + (số số hạng – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy
Ví dụ: Dãy số 2, 4, 6, 8,… có 50 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy?
Áp dụng công thức trên, ta có:
Số hạng cuối = 2 + (50 – 1) x 2 = 100.
Trong đó:
- 2 là số hạng đầu của dãy số
- 50 là số số hạng của dãy số
- 2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.
4.3. Số hạng đầu trong dãy số đều:
Công thức: Số hạng đầu của dãy số đều = số hạng cuối – (số số hạng – 1) x vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.
Ví dụ: Cho dãy số đều, trong đó có số cuối là 100, 2 đơn vị là khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy, số số hạng của dãy là 50. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số đều?
Áp dụng công thức trên, ta có:
Số hạng đầu của dãy số đều = 100 – (50 – 1) x 2 = 2
Trong đó:
- 100 là số hạng cuối
- 50 là số số hạng
- 2 là đơn vị khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số.
4.4. Trung bình cộng của dãy số đều:
- Công thức: Trung bình cộng của dãy số đều = Tổng dãy số : số số hạng của dãy số
Ví dụ: Cho dãy số sau 2, 4, 6, 8,…, 100. Tính trung bình cộng của dãy số đều.
Áp dụng công thức trên, ta có:
Trung bình cộng của dãy số đều = 2550 : 50 = 51.
4.5. Một số lưu ý với bài toán tính tổng dãy số đều:
- Trong bài toán tính tổng dãy số đều, ta chỉ cần quan tâm đến số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số, số số hạng có trong dãy và khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy số (còn gọi là đơn vị khoảng cách).
- Trong bài toán có số hạng là lẻ, số ở giữa bằng một nửa tổng mỗi cặp (số đầu + số cuối). Tức là (số đầu + số cuối) : 2.
- Tùy vào bài toán tính dãy số tăng hoặc giảm để áp dụng các công thức trên.
5. Tổng dãy số không đều:
Dãy số không đều được gọi là dãy Fibonacci (hay còn biết với tên tribonacci). Dãy số không đều là dãy số có tổng giữa hai số liên tiếp là một dãy số.
Ví dụ: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +… + n(n + 1)
Bài giải:
Nhân cả hai vế với 3, ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + n(n + 1).3
= 1.2.(3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +… + n(n + 1)[(n + 2) – (n + 1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4+… + n(n + 1)(n + 2) – (n – 1)n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)
Chia 2 vế cho 3, ta có:
A = [n(n + 1)(n + 2)] : 3
6. Một số bài toán về dãy số đều và không đều:
6.1. Một số bài toán về dãy số đều:
Câu 1: Dãy số đều 2, 4, 6, 8, 10,…, 124 có chứa tất cả bao nhiêu số?
Bài giải:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước 2 đơn vị, suy ra: d = 2
Số số hạng của dãy số = (124 – 2) : 2 + 1 = 62 số
Câu 2: Tính tổng các số trong dãy số: 2, 5, 8, 11,…, 296
Bài giải:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau với số liền trước là 3 đơn vị, suy ra d = 3
Số số hạng của dãy số = (296 – 2) : 3 + 1 = 99 số
Tổng của dãy số = (296 + 2) x 99 : 2 = 14751
Câu 3: Tính tổng của dãy số sau = 4 + 7 + 10 + 13 + … + 2014 + 2017
Bài giải:
Xác định quy luật của dãy số: khoảng cách giữa số liền sau và số liền trước 3 đơn vị, suy ra d = 3
Số số hạng của dãy số = (2017 – 4) : 3 + 1 = 672 số
Tổng của dãy số = (2017 + 4) x 672 : 2 = 679056
Câu 4: Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,… hay không?
Bài giải:
Cả hai số 50 và 133 không thuộc dãy đã cho vì:
- 50 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50
- 133 không thuộc dãy số trên vì các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
Câu 5: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?
Bài giải:
Khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp nhau là 2 đơn vị
Số cuối hơn số đầu số đơn vị là:
971 – 211 = 760 (đơn vị)
760 đơn vị có số khoảng cách là:
760 : 2 = 380
Dãy số trên có số số hạng là:
380 +1 = 381
6.2. Một số bài toán về dãy số không đều:
Tính tổng A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + …+ 98 x 99 + 99 x 100
Bài giải:
Xác định quy luật: 1 x 2 = 2, 2 x 3 = 6, 3 x 4 = 12,… đây là dãy số không đều
Nhân hai vế với 3, ta có:
3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + … + 98 x 99 x 3 + 99 x 100 x 3
= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + … + 98 x 99 x (100 – 97) + 99 x 100 x (101 – 98)
= 1 x 2 x 3 – 1 x 2 x 0 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + 98 x 99 x 100 – 97 x 98 x 99 + 99 x 100 x 101 – 98 x 99 x 100
= 99 x 100 x 101
Như vậy: A = (99 x 100 x 101) : 3 = 333300
Edited by: Dnulib
