Tập hợp Z, hay còn được gọi là tập hợp số nguyên, là một phần không thể thiếu trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về định nghĩa, các tập con của tập hợp Z và một số bài toán áp dụng liên quan.
Tập hợp Z là gì?
Tập hợp Z được định nghĩa một cách đơn giản là tập hợp các số mà không có phân số. Tập hợp Z gồm các số nguyên, trong đó các số dương được sắp xếp thứ tự tốt và đảm bảo tính chất đóng dưới phép cộng.
Tập hợp số nguyên Z bao gồm số 0, các số tự nhiên dương (1, 2, 3, …) và các số âm ( -1, -2, -3, …).
Tập hợp số nguyên Z thường được biểu thị bằng chữ in đậm (Z) hoặc chữ lớn có viền (). Biểu tượng này bắt nguồn từ tiếng Đức “Zahlen” có nghĩa là “số”.
Kí hiệu tập hợp Z
Có nhiều kí hiệu khác nhau để biểu thị các tập hợp số trong Z. Dưới đây là một số trường hợp:
- Tập hợp số nguyên dương: , ,
- Tập hợp số nguyên không âm: ,
- Tập hợp số nguyên khác không: ,
- Tập hợp số nguyên modul P:
Các kí hiệu tập hợp này có thể khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh sử dụng. Một số người sử dụng kí hiệu cho số nguyên khác không, trong khi một số lại dùng nó để chỉ số tự nhiên.
Tính chất của số nguyên
Tương tự như các tập hợp số khác, tập hợp Z đóng với các phép toán cộng, trừ, nhân và chia. Điều này có nghĩa là tổng và tích của hai số nguyên bất kỳ vẫn là số nguyên. Tuy nhiên, việc bao gồm cả số âm và số 0 đã làm cho tập hợp Z khác biệt so với các tập hợp số tự nhiên, và cũng đóng với phép trừ.
Các số nguyên tạo thành một nhóm đơn vị và là nhóm cơ bản nhất. Vành đơn vị này có một phép duy nhất để biến đổi các số nguyên.
Tập hợp Z không đóng với phép chia vì kết quả của phép chia không phải là số nguyên. Ví dụ, số 1 và số 2 đều là số nguyên, nhưng phép chia 1 cho 2 không phải là số nguyên.
Mối quan hệ giữa số nguyên và số hữu tỉ
Trong toán học, tập hợp các số nguyên là tập hợp nhỏ nhất, và nó tạo thành các số tự nhiên. Tuy nhiên, trong lý thuyết đại số, các số nguyên được coi là số hữu tỉ để phân biệt chúng với các số nguyên đại số tổng quát. Trên thực tế, số nguyên là số nguyên đại số và đồng thời cũng là số hữu tỉ. Dưới đây là một số tính chất cơ bản của số nguyên:
| Phép cộng | Phép nhân | Tính đóng | Tính kết hợp | Tính giao hoán | Phần tử đơn vị | Phần tử nghịch đảo |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số nguyên duy nhất có phần tử nghịch đảo là -1 và 1 | Thuộc tính phân phối và không có ước của số 0 | Nếu , thì hoặc hoặc cả hai |
Thuộc tính về lý thuyết thứ tự
Tập hợp Z không có giới hạn trên hoặc dưới. Ví dụ về thứ tự của tập hợp Z như sau:
- Một số nguyên dương lớn hơn 0 và số âm nhỏ hơn 0.
- Số 0 là số trung gian và không dương cũng không âm.
- Từ thứ tự của các số nguyên, ta có các tính chất sau:
Nếu và , thì và
Do tính chất đó, tập hợp Z cùng với thứ tự đã cho là một vòng có thứ tự.
Câu hỏi ôn tập lý thuyết
Câu 1: Hãy cho một ví dụ thực tế về số âm và giải thích ý nghĩa của số âm đó.
Câu 2: Tập hợp Z bao gồm những số nào?
Câu 3: Trên trục số, hai số đối nhau có đặc điểm gì?
Câu 4: Tập hợp Z bao gồm hai bộ phận là số tự nhiên và số âm, đúng không?
Câu 5: Nhắc lại cách so sánh hai số nguyên a và b trên trục số.
Bài tập về tập hợp số nguyên
Để ôn tập kiến thức, chúng ta hãy làm một số bài tập sau:
Bài 1: Tập hợp N và tập hợp M
Đề bài:
a/ Viết tập hợp N gồm các số đối của các phần tử trong tập hợp M.
b/ Viết tập hợp P gồm các phần tử của tập hợp M và tập hợp N.
Đáp án:
a)
b)
Bài 2: So sánh các câu đúng và sai
Đề bài:
Trong các câu sau, hãy cho biết câu nào đúng và câu nào sai?
Đáp án:
Đúng: a, c
Sai: b, d, e
Bài 3: So sánh các câu đúng và sai
Đề bài:
Trong các câu sau, hãy cho biết câu nào đúng và câu nào sai?
Đáp án:
Đúng: a, b, c, e
Sai: d
Bài 4: Sắp xếp các số nguyên
Đề bài:
a/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8.
b/ Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004.
Đáp án:
a)
b)
Bài 5: Các cách viết đúng
Đề bài:
Hãy chọn cách viết đúng trong các cách sau:
a/ -3 < 0.
b/ 5 > -5.
c/ -12 > -11.
d/ |9| = 9.
e/ |-2004| < 2004.
f/ |-16| < |-15|.
Đáp án:
Các cách viết đúng: a, b, d
Các cách viết sai: c, e, f
Bài 6: Tìm giá trị của x
Đề bài:
Hãy tìm giá trị của x trong các phương trình sau:
a/ |x – 5| = 3.
b/ |1 – x| = 7.
c/ |2x + 5| = 1.
Hướng dẫn:
a/
b/
c/
Bài 7: So sánh các số
Đề bài:
a) So sánh và .
b) So sánh và .
Đáp án:
a)
b)
Tài liệu về tập hợp Z
Dưới đây là tổng hợp lý thuyết và một số bài tập hay liên quan đến tập hợp số nguyên. Bạn có thể xem chi tiết trên trang web Dnulib.
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tập hợp Z. Hy vọng rằng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về số nguyên là gì và cách áp dụng số nguyên vào các bài toán.
