Công thức truy hồi là một phần quan trọng giúp các bạn học sinh lớp 11, lớp 12 có thể tìm ra kết quả chính xác và tính toán nhanh trong các bài toán truy hồi. Trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, việc nhớ các công thức này là điều cần thiết. Đối với các bài thi trắc nghiệm, bạn cần phải có kiến thức rộng và phương pháp giải nhanh để đạt số điểm cao. Bên cạnh công thức truy hồi, bạn cũng có thể xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
1. Nội dung chính tài liệu công thức truy hồi
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Dạng 2: Dạng cơ sở: Cho dãy (un) biết u1 = a và un+1 = q.un + d với q, d là các hằng số thực
Gồm 4 trường hợp, dạng này được gọi là dạng cơ sở vì:
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát.
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4, ta đặt một dãy số mới (vn) liên hệ với dãy số (un) bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số (vn) mà (vn) là dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân.
2. Cách tìm công thức truy hồi
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số có dạng khai triển sau: 1 ;-1 ;-1 ; 1 ; 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; 55 ; ……..
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải
Nhìn vào 10 số hạng đầu tiên, ta thấy rằng việc tìm quy luật biểu diễn rất khó. Với những cách tìm quy luật như này, ta thường thực hiện phương pháp sau:
- Đặt:
- Lập bảng các giá trị . . nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận là đa thức bậc 1,2,3, ………….và ta đi tìm đa thức đó.
Dạng 2: Dạng cơ sở:
Cho dãy
Với q,d là các hằng số thực.
GIẢI:
- Trường hợp 1: Nếu
- Trường hợp 2: Nếu
là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai bằng d - Trường hợp 3: Nếu
là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội bằng q - Trường hợp 4: Nếu . Đặt dãy
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:
là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội bằng q
Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy biết:
(Đs: )
Giải:
Vì
là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai d=3
Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q=1, d=3
Đặt dãy sao cho:
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được
là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội q=2
Nhận xét: Câu 1:
Còn có các cách sau:
Cách 2:
Ta có:
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
…………..
Mời các bạn xem thêm tài liệu tại Dnulib để tìm hiểu thêm về Công thức truy hồi.
