Lý thuyết Toán 12: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

0
41
Rate this post

Trong chương trình toán học lớp 12, khái niệm về đường tiệm cận đồ thị hàm số là một trong những khái niệm quan trọng mà chúng ta cần phải nắm vững để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận và cách tìm nó.

Khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một đường thẳng gần như không chạm đến đồ thị của hàm số tại điểm trong miền xác định của hàm số đó. Có ba dạng đường tiệm cận được chúng ta quan tâm trong bài viết này.

Đường tiệm cận đứng

Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi đồ thị của hàm số không có giới hạn ngang và tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng tại một giá trị xác định. Đường thẳng x = a sẽ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu hàm số thỏa mãn một trong bốn điều kiện sau:

  • Khi x tiến tới a, giá trị hàm số tăng hoặc giảm không giới hạn.
  • Khi x tiến tới a, giá trị hàm số tăng không giới hạn.
  • Khi x tiến tới a, giá trị hàm số giảm không giới hạn.
  • Khi x tiến tới a, giá trị hàm số càng lớn hoặc nhỏ đi, nhưng không giới hạn.

Đường tiệm cận ngang

Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi đồ thị của hàm số tiến tới một giá trị xác định khi x tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng. Đường thẳng y = b sẽ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu hàm số thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

  • Khi x tiến tới vô cùng, giá trị hàm số tiến tới b.
  • Khi x tiến tới âm vô cùng, giá trị hàm số tiến tới b.

Lưu ý: Đối với hàm số đa thức, không có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng.

Đường tiệm cận xiên

Đường tiệm cận xiên là một đường thẳng không chạm đến đồ thị của hàm số, nhưng có độ dốc cố định. Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số nếu hàm số thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:

  • Khi x tiến tới vô cùng, giá trị hàm số tiến tới đường thẳng y = ax + b.
  • Khi x tiến tới âm vô cùng, giá trị hàm số tiến tới đường thẳng y = ax + b.

Cách tìm đường tiệm cận và các dạng bài tập

Đối với mỗi dạng hàm số, chúng ta sẽ có những phương pháp giải riêng để tìm đường tiệm cận. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu nhất để tìm đường tiệm cận cho ba dạng hàm số phổ biến: hàm số phân thức bậc nhất, hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số căn thức.

Dạng 1: Tìm đường tiệm cận của hàm số phân thức bậc nhất

Phương pháp giải:

  • Cho hàm số phân thức bậc nhất: f(x) = (ax + b) / (cx + d)
  • Kiểm tra các hệ số a, b, c, d theo các trường hợp sau để tìm đường tiệm cận:
    1. Nếu c = 0, tức là không có x trong mẫu, không có đường tiệm cận.
    2. Nếu a = 0 và c ≠ 0, chia hệ số dưới của f(x) cho hệ số dưới của hàm số, kết quả là đường thẳng y = b / d.
    3. Nếu a ≠ 0 và c = 0, chia hệ số trên của f(x) cho hệ số trên của hàm số, kết quả là đường thẳng x = b / a.
    4. Nếu a ≠ 0 và c ≠ 0, không có đường tiệm cận ngang, chỉ có đường tiệm cận đứng của hàm số với x = -d / c.

Ví dụ: Xác định đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của hàm số f(x) = (2x + 1) / (3x – 2).

Giải:
Ta có: a = 2, b = 1, c = 3, d = -2.

  • Chia hệ số dưới của f(x) cho hệ số dưới của hàm số: (3x – 2) / (3x – 2) = 1.
  • Chia hệ số trên của f(x) cho hệ số trên của hàm số: 2x / 3x = 2 / 3.
  • Đường tiệm cận đứng là x = -d / c = -(-2) / 3 = 2 / 3.
  • Đường tiệm cận ngang là y = b / d = 1 / (-2) = -1/2.

Kết luận: Đồ thị của hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng x = 2 / 3 và đường tiệm cận ngang y = -1/2.

Dạng 2: Tìm đường tiệm cận của hàm số phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải:

  • Cho hàm số phân thức hữu tỉ: f(x) = (p(x)) / (q(x)), trong đó p(x) và q(x) là các đa thức.
  • Tìm xem có bao nhiêu giá trị x mà q(x) = 0 trong miền xác định của hàm số.
    1. Nếu có một giá trị x = a mà q(a) = 0, đồ thị của hàm số sẽ có đường tiệm cận đứng tại x = a.
    2. Nếu không có giá trị x nào mà q(x) = 0, đồ thị của hàm số không có đường tiệm cận đứng.

Ví dụ: Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của hàm số f(x) = (2x^2 – 4) / (x – 1).

Giải:
Ta có: q(x) = x – 1.

  • Tìm x mà q(x) = 0: x – 1 = 0 => x = 1.
  • Đường tiệm cận đứng là x = 1.

Kết luận: Đồ thị của hàm số f(x) có đường tiệm cận đứng x = 1.

Dạng 3: Tìm đường tiệm cận của hàm số căn thức

Phương pháp giải:

  • Cho hàm số y = f(x) với f(x) là hàm số chứa căn.
  • Tìm tập xác định D của f(x).
  • Để hàm số y = f(x) có đường tiệm cận ngang, cần thỏa mãn điều kiện sau:
    • Tồn tại giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc âm vô cùng.

Ví dụ: Xác định đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của hàm số f(x) = √(x + 1).

Giải:
Tập xác định D của f(x) là các giá trị x >= -1.

  • Khi x tiến tới vô cùng, giá trị hàm số cũng tiến tới vô cùng.
  • Khi x tiến tới âm vô cùng, giá trị hàm số tiến tới 0.

Kết luận: Đồ thị của hàm số là một nửa đường tròn bán kính R = 1, tâm I(0;1), không có đường tiệm cận.

Để nắm rõ hơn về các dạng hàm số và cách tìm đường tiệm cận, bạn có thể truy cập Dnulib. Dnulib cung cấp nhiều tài liệu về lý thuyết toán 12, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng thành công vào các bài toán của mình.