Bạn đã từng nghe qua khái niệm “số lập phương” chưa? Nếu chưa, đừng lo lắng, vì trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về số lập phương và cách giải những bài toán liên quan đến nó.
1. Số lập phương là gì?
-
Số lập phương của một số tự nhiên a có nghĩa là nhân 3 lần giá trị của số đó với nhau.
Ta có: a³ = a.a.a
Trong đó: a là cơ số.
a³ đọc là: “a mũ ba” hoặc “lập phương của a”
Hay cũng có thể hiểu là lấy tích của số đó với bình phương của nó.
Ta có: a³ = a. a²
*Chú ý: (-a)³ = – (a³)
2. Tổng các lập phương của n số tự nhiên đầu tiên
Tổng các lập phương của n số nguyên dương đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đó.
Ta có:
Như vậy, tổng các lập phương của n số tự nhiên (khác 0) đầu tiên luôn là một số chính phương.
3. Bảng số lập phương
Dưới đây là bảng số lập phương của 20 số tự nhiên đầu tiên.
4. Các dạng toán cơ bản về số lập phương
4.1. Tìm lập phương của một số
Phương pháp giải:
Để tìm lập phương của một số tự nhiên, ta có hai cách sau:
- Dựa vào bảng số lập phương để tìm lập phương của một số tự nhiên
- Dựa vào khái niệm số lập phương để tìm lập phương của một số tự nhiên
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Đọc các số sau: 43; 1203; 463 bằng hai cách.
ĐÁP ÁN
43 đọc là: “bốn mũ ba” hay “lập phương của bốn”;
1203 đọc là: “một trăm hai mươi mũ ba” hay “lập phương của một trăm hai mươi”;
463 đọc là “bốn mươi ba mũ ba” hay “lập phương của bốn mươi ba”.
Bài 2: Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên: 216; 512; 729; 1000; 4096; 6859.
ĐÁP ÁN
Dựa vào bảng lập phương của 20 số tự nhiên đầu tiên, ta có:
216 = 6³; 512 = 8³; 729 = 9³; 1000 = 10³; 4096 = 16³; 6859 = 19³
Bài 3: Lập bảng lập phương của 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên.
ĐÁP ÁN
Bảng lập phương của 10 số tự nhiên lẻ đầu tiên là:
1³ 3³ 5³ 7³ 9³ 11³ 13³ 15³ 17³ 19³
Bài 4: Tính giá trị của các lập phương của một số sau: 53; 43; 63
ĐÁP ÁN
Ta có: 53 = 5.5.5 = 125; 43 = 4.4.4 = 64; 63 = 6.6.6 = 216
Bài 5: Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lập phương của một số tự nhiên.
a) 2.2.2
b) 12.12.12
c) 98.98.98
d) 100.100.100
ĐÁP ÁN
a) 2.2.2 = 2³
b) 12.12.12 = 12³
c) 98.98.98 = 98³
d) 100.100.100 = 100³
Bài 6: Tìm các số tự nhiên từ 2000 đến 5000 là lập phương của một số tự nhiên.
ĐÁP ÁN
Dựa vào bảng lập phương, ta có:
2197 là lập phương của 13;
2744 là lập phương của 14;
3375 là lập phương của 15;
4096 là lập phương của 16.
4.2. Bài toán chứng minh liên quan đến lập phương của một số tự nhiên
Phương pháp giải:
Áp dụng khái niệm số lập phương và dựa vào yêu cầu bài toán để phân tích đưa bài để đưa ra cách giải thích hợp.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.
ĐÁP ÁN
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x – 1; x; x + 1
Ta có: (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ = (x – 1)³ + x³ + (x +1)³ = 3x³ + 6x = 3(x – 1).x.(x+1) + 9x
Ta đã biết tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 nên (x – 1).x.(x+1) chia hết cho 3, suy ra 3.(x – 1).x.(x+1) chia hết cho 3.
Mặt khác, vì 9 chia hết cho 3 nên 9x chia hết cho 3.
⇒ 3(x – 1).x.(x+1) + 9x chia hết cho 3
⇒ (x – 1)³ + x³ + (x + 1)³ chia hết cho 3.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 2: Chứng minh rằng không có số tự nhiên có ba chữ số nào mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
ĐÁP ÁN
Ta giả sử tồn tại một số tự nhiên có ba chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
Ta gọi số tự nhiên ấy là: ( a, b, c ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; b ≤ 9; c ≤ 9)
Từ đầu bài: ta đặt: = x³ (x ∈ N)
Vì 100 ≤ < 1000 nên 100 ≤ x³ < 1000
Ta có: 43 < x³ < 103
Suy ra: 4 < x < 10
⇒ x ∈ {5; 6; 7; 8; 9}
- Với x = 5, ta có: = 5³ = 125
⇒ a = 1; b = 2; c = 5 không thỏa mãn = (a + b + c)³ vì 125² ≠ (1 + 2 + 5)³ - Với x = 6, ta có: = 6³ = 216
⇒ a = 2; b = 1; c = 6 không thỏa mãn = (a + b + c)³ vì 216² ≠ (2 + 1 + 6)³ - Với x = 7, ta có: = 7³ = 343
⇒ a = 3; b = 4; c = 3 không thỏa mãn = (a + b + c)³ vì 343² ≠ (3 + 4 + 3)³ - Với x = 8, ta có: = 8³ = 512
⇒ a = 5; b = 1; c = 2 không thỏa mãn = (a + b + c)³ vì 512² ≠ (5 + 1 + 2)³ - Với x = 9, ta có: = 9³ = 729
⇒ a = 7; b = 2; c = 9 không thỏa mãn = (a + b + c)³ vì 729² ≠ (7 + 2 + 9)³
Suy ra, không có số tự nhiên có ba chữ số nào thỏa mãn.
Vậy không có số tự nhiên có ba chữ số nào mà bình phương của nó bằng lập phương tổng các chữ số của nó.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Trên đây là tổng hợp lý thuyết về lập phương của một số tự nhiên và các dạng toán cơ bản cùng với lời giải chi tiết, dễ hiểu. Hy vọng những kiến thức trên sẽ giúp cho các bạn học sinh trau dồi và nâng cao thêm vốn kiến thức của bản thân cũng như vận dụng những kiến thức ấy vào giải các bài tập toán liên quan đến lập phương của số tự nhiên.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Editor: Dnulib
